Η Αράχνη και η Μύγα

Εκπαιδευτική δραστηριότητα για το Πυθαγόρειο θεώρημα 

(Β΄ Γυμνασίου ή Β΄ Λυκείου)

Πρόβλημα 

Στο μέσο Λ της ακμής ΑΗ και στο μέσο Μ της ακμής ΚΖ ενός κουτιού σχήματος ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου βρίσκονται μία Αράχνη (σημείο Λ) και μία μύγα (σημείο Μ) αντίστοιχα. Αν η Μύγα παραμένει ακίνητη, να βρείτε το μήκος της ελάχιστης διαδρομής που πρέπει να κάνει η Αράχνη ώστε να βρεθεί στο σημείο Μ όπου βρίσκεται η Μύγα. (Σημειώστε ότι η Αράχνη μπορεί να κινείται μόνο πάνω στις έδρες του κουτιού, όχι στο εσωτερικό του)

Δίνουμε σε κάθε μαθητή μία λευκή κόλλα Α4 και τις παρακάτω οδηγίες:

α) Διπλώστε την κόλλα στα δύο, στο μέσο της μεγάλης πλευράς (ώστε να συμπέσουν το Α με το Β και το Γ με το Δ).

β) Ξεδιπλώστε την κόλλα ώστε να πάρει την αρχική της μορφή και διπλώστε τα δύο μισά τμήματα της κόλλας στη μέση (ώστε το Α και το Β να συμπέσουν με το Ε ενώ τα Δ και Γ να συμπέσουν με το Ζ).

γ) Ενώστε με ένα σελοτέιπ τα δύο παραλληλόγραμμα που εμφανίστηκαν στην επάνω όψη της κατασκευής

δ) Ξεδιπλώστε την κατασκευή ώστε να πάρει τη μορφή τριδιάστατου αντικειμένου. Εμφανίζονται οι τέσσερις από τις έξι έδρες ενός ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, δηλαδή κατασκευάζεται ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο με ανοικτές τις δύο τετραγωνικές βάσεις του.

(Η κατασκευή δεν χρειάζεται να είναι ακριβής, πραγματοποιείται μόνο ώστε ο μαθητής να έχει μία ξεκάθαρη τριδιάστατη απεικόνιση του προβλήματος και άρα καλύτερες προϋποθέσεις για να αντιληφθεί και να επιλύσει το πρόβλημα).

ε) Σημειώστε το μέσο Λ της ακμής ΑΗ και το μέσο Μ της ακμής ΚΖ, ώστε να είναι ορατά από το εξωτερικό του παραλληλεπιπέδου, δηλαδή το Λ να σημειωθεί στην επάνω όψη της έδρας ΑΔΙΗ και το Μ να σημειωθεί στη κάτω όψη της έδρας ΘΚΖΕ. Η μικρότερη δυνατή διαδρομή από το σημείο Λ στο σημείο Μ, είναι το ζητούμενο του προβλήματος.

στ) Να προτείνετε μία διαδρομή που οδηγεί από το σημείο Λ στο σημείο Μ .

(Αναμένεται να δοθεί η απάντηση: "Από το Λ στο μέσο του ΔΙ και από εκεί στο σημείο Μ, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα)

ζ) Με τη βοήθεια ενός χάρακα να μετρήσετε την παρακάτω διαδρομή που ενώνει τα σημεία Λ και Μ.

η) Αφαιρέστε ή κόψτε τα σελοτέιπ και ξεδιπλώστε την κόλλα ώστε να επανέλθει στην αρχική της μορφή. Σχεδιάστε τη γραμμή που ενώνει τα σημεία Λ και Μ πάνω στην κόλλα και με τη βοήθεια ενός χάρακα μετρήστε το μήκος του τμήματος ΛΜ που σχεδιάσατε. 

θ) Να συγκρίνετε τις δύο διαδρομές που υπολογίσατε στα ερωτήματα ζ) και η). 

ι) Ξαναδιπλώστε το χαρτί σε σχήμα ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου ώστε η διαδρομή που σχεδιάσατε να αποτυπώνεται στο τριδιάστατο σχήμα και σχολιάστε αν είχατε σκεφτεί ότι η μικρότερη δυνατή διαδρομή από το σημείο Λ στο σημείο Μ είναι η συγκεκριμένη διαδρομή, με την Αράχνη να διασχίζει τρεις έδρες! 

κ) Αν αλλάξουν οι διαστάσεις του κουτιού στο αρχικό πρόβλημα και είναι ΑΗ=ΗΕ=3 cm και ΑΔ=8 cm,
i. να βρείτε το μήκος της διαδρομής Λ-Ν-Μ στο πρώτο σχήμα, 
ii. να χρησιμοποιήσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να βρείτε το μήκος της διαδρομής ΛΜ στο δεύτερο σχήμα και να τη συγκρίνετε με τη διαδρομή Λ-Ν-Μ του πρώτου σχήματος.

λ) Αν οι διαστάσεις του κουτιού στο αρχικό πρόβλημα είναι ΑΗ=ΗΕ=x cm και ΑΔ=y cm, να βρείτε με δοκιμές (ή με άλλον τρόπο) έναν αριθμό x και έναν αριθμό y, ώστε η διαδρομή Λ-Ν-Μ του πρώτου σχήματος να είναι μικρότερη από τη διαδρομή ΛΜ του δεύτερου σχήματος.

Ο Θοδωρής Ανδριόπουλος είναι καθηγητής μαθηματικών και συγγραφέας. Έχει εκπαιδευτεί στην Αμερική στη διδασκαλία ταλαντούχων μαθητών, στο ειδικό κέντρο του πανεπιστημίου Johns Hopkins (CTY). Διδάσκει μαθηματικά στο Αμερικάνικο Κολλέγιο Ανατόλια της Θεσσαλονίκης καθώς και Θεωρία Παιγνίων στο Κέντρο για Ταλαντούχα παιδιά (CTY Greece). Επίσης, παραδίδει σεμινάρια επιμόρφωσης σε καθηγητές δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης. Έχει γράψει δύο σχολικά βοηθήματα, «Γεωμετρία Β΄ Λυκείου» (Κβαντ) και «Κριτήρια Αξιολόγησης Μαθηματικών Γενικής Παιδείας» (Σαββάλας). Έχει βραβευτεί από το Υπουργείο Παιδείας για την καινοτόμο δράση του στην εκπαίδευση. Με την εργασία του "Ποιος σκότωσε τον κύριο Χ;" κέρδισε στο 6ο Πανευρωπαϊκό Φόρουμ Πρωτοπόρων Εκπαιδευτικών της Microsoft, την 3η θέση στην ειδική κατηγορία όπου οι ευρωπαίοι εκπαιδευτικοί ψηφίζουν την καλύτερη εργασία. Η συγκεκριμένη εργασία εκδόθηκε σε μορφή graphic novel στα Ελληνικά (Ελληνοεκδοτική), στα Κινέζικα (Sunnbook), στα Αγγλικά (Springer), στα Ιαπωνικά (Kodansha) και στα Κορεάτικα (Darun), με μεγάλη εμπορική επιτυχία.